27 ¿Quién está lanzando el seis? La distribución binomial.

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Hola y bienvenidos a este nuevo episodio. Hoy vamos a hablar de la distribución binomial y de lo que puede tener que ver con lanzar un "6" con los dados.

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Una vez más consideramos experimentos aleatorios.

• Se lanza una moneda.
• Lanzamos los dados y hay un "6" o no.
• Se saca una bola de una urna con bolas negras y rojas.
• Argentina y España juegan la final de un (hipotético) Mundial de fútbol.
• Miguel aprueba el examen de matemáticas o no.
• Lanzamos una chincheta. Se cae de lado o de cabeza.
• Un cactus muestra una flor o no.

¿Qué tienen en común estos experimentos aleatorios? A primera vista, no mucho. Pero una segunda mirada revela que hay dos resultados posibles en cada caso. Obviamente, esto se aplica a todos estos experimentos. También se aplica a la Copa del Mundo de fútbol, porque aquí, si es necesario, el equipo ganador se determina por una tanda de penaltis. Según el reglamento, la tanda de penaltis continúa hasta que se decida el partido, lo que, sin embargo, suena extraño desde el punto de vista matemático. En teoría, podría continuar indefinidamente, ¿no? No importa.

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Llamamos a este experimento aleatorio un ensayo de Bernoulli.

La definición es bastante sencilla. Un experimento aleatorio en el que se distinguen exactamente dos resultados posibles, como el "éxito" y el "fracaso", se denomina ensayo de Bernoulli. Muy importante: los dos resultados no tienen que ser igual probables.

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Veamos los ejemplos con más detalle.

En el lanzamiento de una moneda existen los resultados "cara" y "sello". Ambos son igualmente probables y es P(cara) = P(sello) = ½.

Si se lanza una moneda varias veces, se puede utilizar un diagrama de árbol con una estructura muy sencilla para representarlo. Puede verlo ilustrado aquí.

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Cuando lanzamos los dados, podemos distinguir entre los resultados "6" y "no 6". Sin embargo, los dos resultados no son igualmente probables. Es P(6) = 1/6 y P(no 6) = 5/6.

Si realiza este experimento varias veces, también puede utilizar un diagrama de árbol. Su estructura es tan sencilla como la del lanzamiento de la moneda, sólo escribimos las correspondientes probabilidades cambiadas en las ramas.

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¿Y qué hay de la chincheta?

Existen los resultados "cabeza" y "lado". Ambos resultados son probables de forma diferente y no hay -ya lo hemos visto muchas veces- ningún valor teórico para la probabilidad. Pero: Si P(cabeza) = p, entonces P(lado) = 1 - p.

Si se realiza el experimento varias veces, se puede utilizar un diagrama de árbol y etiquetarlo como corresponde.

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Sigamos mirando la flor del cactus. Y sí, ahora se está volviendo aburrido.

Existen los resultados "flor" y "sin flor". Ambos resultados tienen diferentes probabilidades, y esta vez tampoco hay valor teórico.

Pero: Si P(flor) = p, entonces P(sin flor) = 1 - p.

Si se realiza el experimento varias veces, también se puede utilizar un diagrama de árbol para representarlo.

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Se ha producido la misma situación una y otra vez en varias ocasiones. Evidentemente, vale la pena introducir un término para esto. Es el concepto del proceso de Bernoulli.

Si se realiza el mismo ensayo de Bernoulli n veces, se obtiene un proceso de Bernoulli de n intentos.

La estructura de un proceso de Bernoulli con probabilidad de éxito p es sencilla y puede describirse mediante el diagrama de árbol.

Por cierto, el nombre se remonta del matemático suizo Jakob I Bernoulli, miembro de la famosa familia de matemáticos Bernoulli. Estuvo activo en la segunda mitad del siglo XVII y principios del XVIII.

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¿Y las probabilidades en cada caso? Pensemos en esto, pongamos los resultados en una tabla y empecemos con el lanzamiento de la moneda. Si se lanza tres veces, la probabilidad de que salga cara tres veces o ninguna es obviamente de 1/8. La probabilidad de que salga cara una o dos veces es de 3/8.

A partir de esto se puede calcular el valor esperado. Es

.

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Y así es como se ve en el histograma, muy claro. Podemos leer los números que acabamos de calcular. La probabilidad de que no salga "cara" en ningún caso es tan 1/8 como la probabilidad de que salga "cara" tres veces seguidas. La probabilidad de que salga "cara" una vez o "cara" dos veces es de 3/8. Se puede ver muy bien la simetría que resulta de la restricción a sólo dos posibilidades.

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Ahora examinamos el ensayo de Bernoulli "lanzar un 6 con el dado". Si lanzamos tres veces, la probabilidad de que un "6" se lance tres veces es sólo   o 1/216. La probabilidad de que un "6" se lance dos veces es = 15/216. La probabilidad de que un "6" se lance exactamente una vez es   = 75/216. Y finalmente, hay 125 de 216 casos en los que no se produce ningún "6", lo que corresponde a una probabilidad de  = 125/216.

Volvemos a calcular el valor esperado. Es

Y este es el número esperado (relativo) de números 6 en el lanzamiento de un dado 3 veces.

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De nuevo, seguimos mirando esto en el histograma.

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En el ejemplo de la chincheta se puede ver un poco mejor el principio general.

Si p es la probabilidad del evento "cabeza", entonces   es la probabilidad de 3 veces "cabeza", 𝟑•𝒑² • (𝟏 −𝒑) la probabilidad de 2 veces "cabeza", 𝟑•𝒑•(𝟏 −𝒑)² la probabilidad de que una vez la "cabeza" y (1-p)³ la probabilidad de que ninguna vez la chincheta caiga en la cabeza.

Los ensayos de Bernoulli siguen, obviamente, un "patrón" común.

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Veamos el modelo de urna en general.

Se puede simular un ensayo de Bernoulli sacando bolas de una urna. Si se toman bolas negras y rojas, por ejemplo, una proporción (por ejemplo, de las bolas rojas) debe corresponder a la probabilidad de éxito p del experimento real.

Un proceso de Bernoulli de n intentos significa, por tanto, que se saca una bola al azar n veces y se vuelve a poner en la urna.

Las probabilidades correspondientes se pueden determinar con bastante facilidad, y así lo hemos hecho en los ejemplos.

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En general: El coeficiente binomialindica el número de resultados diferentes que contienen exactamente k éxitos (“bolas rojas “) en un proceso de Bernoulli de n intentos (k es un elemento de N₀ y k ≤ n).

Cada resultado con k éxitos y, por tanto, n-k fracasos (“bolas negras“) tiene la probabilidad p^k • (1-p)^n-k.

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Para un proceso de Bernoulli de n intentos y probabilidad p, la probabilidad de obtener exactamente k éxitos es (0 ≤ k ≤ n):

Y así hemos llegado al punto de partida de una determinada distribución de probabilidad, la distribución binomial.

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Esta es la definición:

Una variable aleatoria X se denomina de distribución binomial con los parámetros n y p si la probabilidad de k éxitos puede ser descrita por una cadena de Bernoulli con longitud n y probabilidad p para un éxito. Esta distribución de probabilidad se llama distribución binomial B(n;p).

Se escribe (para 0 ≤ k ≤ n): .

Cuando se hacen generalizaciones en matemáticas, esto puede parecer ciertamente un poco aterrador. Sin embargo, al final todo lo que se escribe aquí es lo que se podía ver con relativa facilidad en los ejemplos. Por eso los ejemplos son tan importantes. Un resumen, una definición o una fórmula sólo tienen valor desde el punto de vista matemático si hay suficientes ejemplos. En consecuencia, suelen estar al principio de una buena teoría matemática.

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Y así damos el último paso por hoy hacia un resumen técnico.

El valor esperado de una variable aleatoria con distribución binomial es

   y que se puede calcular maravillosamente

E(X) = n • p

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Terminemos con un ejemplo. Intentamos lanzar un "6" una vez más. Sin embargo, no lanzamos los dados tres, cuatro o cinco veces seguidas, sino que esta vez pueden ser 50 lanzamientos. Por supuesto, también se puede calcular, pero es más agradable dejar que el ordenador le ayude.

¿Qué aspecto tiene ahora el histograma? Sorprendentemente limpio, ¿no es así? Intentemos entenderlo cualitativamente, al menos hasta cierto punto. El eje y muestra las probabilidades, el eje x el número de intentos con éxito. Es poco probable que el "6" salga 50 veces seguidas y por tanto ningún otro número. La probabilidad es 1/6⁵⁰ y eso es un número muy pequeño. Es bastante probable que el "6" se produzca varias veces. Pero no muy a menudo, porque, después de todo, hay otros cinco números. En consecuencia, es plausible que -como se ve aquí- el "6" esté en algún lugar entre 6 veces y 10 veces en 50 lanzamientos por encima. Mucho menos y mucho más es ciertamente menos probable.

Existen programas que permiten determinar los histogramas para (casi) cualquier p y (casi) cualquier n. En este ejemplo se ha utilizado Geogebra.

Lo mejor es que lo vea usted mismo y juegue con los parámetros.

Lo trataremos de nuevo en el próximo episodio.

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Muchas gracias por estar con nosotros. Estoy deseando volver a darle la bienvenida en el próximo episodio.