22 Experimentos aleatorios de varias etapas: Cálculo de probabilidades.
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Hoy volvemos a hablar de matemáticas. Sea usted bienvenido.
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Ya hemos hablado de los experimentos aleatorios de varias etapas. Hoy vamos a analizar un poco más a fondo cómo estos experimentos se relacionan con la determinación de probabilidades.
Por supuesto, es una posibilidad determinarlas empíricamente y para algunas cuestiones -estamos pensando en el lanzamiento de un alfiler de chincheta- también podría ser la única posibilidad. Sin embargo, en algunos casos, también se pueden hacer consideraciones teóricas. Entonces será cuestión de determinar los casos posibles, favorables y derivar una probabilidad teórica.
Hoy se trata especialmente -pero no sólo- de este segundo caso y, en cualquier caso, de cómo representar adecuadamente los resultados de un experimento aleatorio de varias etapas.
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Dejemos que la empírica opine primero. Este ejemplo ya lo conoce del episodio anterior.
Preguntamos a una clase si a los alumnos les gustaban las asignaturas de español y matemáticas, respectivamente. Estos son los resultados. ¿Por qué no interpretar las cifras relativas obtenidas empíricamente como probabilidad?
Elegimos a ciegas a una persona de la clase. Entonces la probabilidad de que le guste el español y las matemáticas es exactamente 1/2.
La probabilidad que le gustan las matemáticas en absoluto es 0,68 o 68%. No tenemos forma de obtener resultados aquí por ningún otro medio que no sea la encuesta.
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Sin embargo, a veces se puede llegar a las probabilidades desde una perspectiva teórica en experimentos aleatorios de varias etapas. Veamos un ejemplo, el doble lanzamiento de una moneda.
Entonces puede lanzar cara o sello en el primer intento al igual que en el segundo intento. La probabilidad de lanzar "cara" en ambos intentos es -como es bien sabido- del 25% o 1/4.
En este caso, no hay que realizar necesariamente el experimento, sino que también se puede rellenar la tabla desde un punto de vista teórico. En cada una de las cuartas partes de los casos, se debería obtener una de las cuatro secuencias posibles si se repite con frecuencia. Y esto puede interpretarse, obviamente, como la probabilidad del evento respectivo.
He elegido deliberadamente un experimento que produce números algo aburridos. Aunque parecer ser aburridos, son tan sencillos que se entiende inmediatamente la conexión. Los sucesos "cara" y "sello" ocurren en una sola lanzada con probabilidad 1/2, cualquier combinación de dos lanzadas con probabilidad 1/4, porque hay, después de todo, exactamente cuatro posibilidades diferentes, teniendo en cuenta -una vez más- la secuencia.
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Así es exactamente cómo funciona en este ejemplo.
Lanzamos un dado dos veces y nos interesa si sale al menos un “6”. Aquí también hay cuatro posibles resultados del experimento:
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Por supuesto, en la práctica se puede lanzar un dado dos veces seguidas, y sin duda hay que hacerlo con bastante frecuencia.
Pero de nuevo, no tenemos que realizar necesariamente el experimento aleatorio en términos concretos. Podemos completar la tabla desde un punto de vista teórico. Pero ¿de qué punto de vista teórico se trata?
Analicemos esto sistemáticamente.
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En el primer intento hay una posibilidad de lanzar el “6” y hay cinco posibilidades de no lanzar un “6”.
En el segundo intento hay una posibilidad de lanzar el “6” y cinco posibilidades de no lanzar un “6”.
Para determinar teóricamente las probabilidades, se puede aplicar obviamente la regla del producto que conocemos bien.
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Veamos la situación en el diagrama de árbol. Hay un total de 36 combinaciones diferentes de dos números naturales entre el 1 y el 6, incluida la posibilidad de lanzar un 6 dos veces seguidas. Hay cinco posibilidades de lanzar primero un 6 y luego otro número, y cinco posibilidades de lanzar primero uno de los números entre el 1 y el 5 y luego un 6. Finalmente, hay 5 x 5 = 25 posibilidades de no obtener un 6 al lanzar dos veces.
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Estas cifras absolutas pueden introducirse en una tabla de cuatro campos, que de nuevo presenta el resultado de forma muy clara. Y de nuevo, la suma en la parte inferior derecha consiste en las 36 posibilidades.
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Si determinamos las frecuencias relativas a partir de esto, entonces llegamos fácilmente a las probabilidades teóricas en este experimento aleatorio de dos etapas.
Puede ver que esta representación es muy clara y permite un fácil control de los valores.
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Este ejemplo ya lo conoce.
Lanzamos un dado tres veces y nos interesa si sale al menos un "6". Estos son los principales resultados:
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¿Podemos asignar probabilidades aquí también? Intentemos comprender de nuevo la situación con la ayuda de la regla del producto.
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Aquí tenemos la disposición de la situación en un diagrama de árbol. Puede - como siempre antes - etiquetar las ramas con los valores absolutos. Es el 1 para la lanzada de un "6" o el 5 para la lanzada de otro número. Finalmente, los sumas. De 216 lanzamientos posibles, hay exactamente uno en el que el "6" aparece tres veces. Hay 125 posibilidades de que el "6" no aparezca al lanzarlo tres veces. Hay 3 veces 5 que equivalen a 15 posibilidades en las que el "6" fue lanzado dos veces y 3 veces 25 que equivalen a 75 posibilidades para un solo "6" y otros dos números.
Se puede introducir cada una de las posibilidades, simplemente se necesitan tres niveles. Los diferentes casos teóricamente posibles suman esta vez 63= 216. Se podría leer seis a la 3 es igual a doscientos dieciséis.
Una cosa más: evidentemente, aquí no se puede utilizar una tabla de cuatro campos para la representación. De hecho, sólo es adecuado para los experimentos aleatorios de dos etapas.
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Estas son las probabilidades, que por supuesto tienen en cuenta el orden de lanzamiento. Es 1/216 por lanzar un “6” tres veces o 5/216 que salga otro número después de dos veces “6” al tercer lanzamiento. Si sólo le interesa si un “6” fue lanzado exactamente dos veces, entonces puede calcular 5/216 + 5/216 + 5/216 = 15/216.
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¿Nota algo? La multiplicación resulta ser aquí una técnica útil. La multiplicación de los números correspondientes en las ramas conduce al resultado en el nodo así determinado. 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216, 1/6 x 5/6 x 5/6 = 25/216 etc. Volveremos a hablar de esto en el siguiente ejemplo.
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Veamos de nuevo una situación familiar bajo el nuevo título de experimentos aleatorios de varias etapas.
Hay dos bolas rojas y tres azules en una urna.
Sacamos una bola de la urna, la devolvemos y sacamos otra bola.
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En este caso, tiene sentido establecer
P(RR) = 4/25, P(AA) = 9/25 y P(RA) = 12/25 .
Esto se puede ver contando. Pero en este caso la multiplicación vuelve a funcionar.
Obviamente, la nueva forma de ver las cosas no depara ninguna sorpresa.
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Lo hemos visto. En estos experimentos aleatorios de varias etapas, las probabilidades pueden determinarse mediante la regla del producto. Al final, sólo se produce la multiplicación en cada caso.
Y de esto se puede derivar una regla, la regla Nº 1:
Consideramos un experimento aleatorio de varias etapas, lo representamos en un diagrama de árbol, introducimos las probabilidades individuales en las respectivas ramas. A continuación, la probabilidad del resultado de un experimento, es decir, de un suceso elemental, se calcula mediante el producto de las probabilidades de las ramas correspondientes.
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Comprueba y multiplica. Obviamente, funciona.
p(azul, azul) = 3/5 x 3/5 = 9/25
p(rojo, rojo) = 2/5 x 2/5 = 4/25
p(azul, rojo) = 3/5 x 2/5 = 6/25
p(rojo, azul) = 2/5 x 3/5 = 6/25
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Y si se cuenta y el orden no importa, entonces obviamente p(una vez rojo y una vez azul) = 6/25 + 6 /25 = 12/25. Se suma.
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El resultado es la regla No. 2
Consideramos un experimento aleatorio de varias etapas, lo representamos en un diagrama de árbol, introducimos las probabilidades individuales en las respectivas ramas. A continuación, la probabilidad de un evento arbitrario es la suma de las probabilidades de todos los caminos que conducen a este evento.
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¿Difícil de entender? No, es que no es tan fácil formular los hechos de una manera práctica desde un punto de vista matemático.
Entonces aquí tiene otro ejemplo:
Lanzamos los dados dos veces y calculamos la suma de los puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que sea al menos "9"?
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Un diagrama de árbol ayuda a ilustrar los hechos. Primero introducimos los seis resultados posibles, que se muestran aquí como nodos rojos. De cada uno de ellos parten seis caminos, pero no todos conducen a una suma de puntos de 9 o más. Dibujamos sólo éstos, contamos cuantos hay y multiplicamos este número por 1/6 x 1/6 = 1/36.
Hemos utilizado ambas reglas.
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¿Funcionan las reglas también si se saca una bola sin devolverla? Por supuesto que sí.
Supongamos que hay dos bolas rojas y tres azules en una urna. Sacamos una bola de la urna, no la devolvemos y sacamos otra bola. Se puede ver la situación en los diagramas de árbol, las posibilidades y por tanto las probabilidades en las ramas son fáciles de determinar.
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Si multiplicamos, obviamente llegamos a estos números. Sacar dos bolas rojas debería ocurrir 2/20 de las veces. A todas las demás combinaciones se les asigna la probabilidad 6/20.
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Y aquí también puede sumar si no importa el orden. Es p(una vez rojo y una vez azul) = 6/20 + 6 /20 = 12/20.
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Porque es muy apropiado, repasemos brevemente el concepto del experimento según la regla de Laplace.
Lanzar un dado es un experimento según la regla de Laplace. Los resultados 1, 2, 3, 4, 5 y 6 ocurren con la misma probabilidad de 1/6.
Lanzar un dado dos veces es un experimento según la regla de Laplace (si se presta atención al orden). Los resultados (1,1), (1,2), (1,3), …, (3,1), (3,2), …, (3,6), (4,1), … (6,5), (6,6) ocurren con la misma probabilidad 1/36.
Por otro lado, determinar la suma de los puntos al lanzar un dado dos veces no es un experimento según la regla de Laplace. La suma “2” sólo existe si se lanza “1” dos veces. Para la suma “7” existen las posibilidades “1+6”, “2+5”, “3+4”, “4+3”, “5+2” y “6+1”, es decir, muchas más.
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En resumen, ¿Qué hemos hecho hoy? Volvemos a analizar los experimentos aleatorios de varias etapas y consideramos cuál es la probabilidad de un resultado concreto.
Los experimentos en los que se puede determinar una frecuencia teórica para los distintos resultados mediante la regla del producto también pueden asignarse probabilidades en consecuencia.
Para todos los experimentos parece tener sentido presentar los resultados en un diagrama de árbol. De este modo, disponemos de una representación que ayuda a aclarar la estructura del experimento.
Sólo en los experimentos aleatorios de dos etapas es también útil una tabla de cuatro campos. Puede ser la base para determinar las probabilidades.
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Eso fue todo por hoy. Muchas gracias por acompañarme. Espero verle la próxima vez.