21 Experimentos aleatorios de varias etapas: ¿De qué se trata?
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Buenos días a todos. Una vez más queremos hablar de matemáticas. Hoy la atención se centrará en los experimentos aleatorios de varias etapas. Veremos ejemplos y consideraremos cómo se pueden representar adecuadamente los resultados. En el proceso, también nos pondremos a hablar directamente de cómo se pueden asignar probabilidades a ellos de una manera significativa.
Con este episodio comenzamos la "estadística y probabilidad para profesionales", pero no se preocupe, usted puede entender esta parte sin mucho esfuerzo.
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Hoy vamos a hablar de los experimentos aleatorios de varias etapas. Para prepararnos, aclaremos qué es un experimento aleatorio de una sola etapa.
Bastante claro. De esto se habla cuando se realiza un experimento aleatorio exactamente una vez.
Y estos son ejemplos. Por ejemplo, podría interesarse por la popularidad de las matemáticas como asignatura en una clase del colegio. Eso da lugar a una pregunta y a una respuesta. O puede querer saber si los niños de una clase del colegio están en un club deportivo o no. Pregunta y respuesta sencilla, porque aquí sólo se puede decidir entre "sí" y "no".
El lanzamiento una sola vez de una moneda o un dado es también un experimento aleatorio de un solo paso.
Del mismo modo, se puede considerar que una prueba médica es un experimento aleatorio. Y al hacerlo, la respuesta no tiene por qué reducirse únicamente a "positivo" y "negativo". Para el grupo sanguíneo, por ejemplo, hay cuatro posibilidades: cero, A, B y AB. Y para la presión arterial, realmente no podemos enumerar las posibilidades. No obstante, este ejemplo no debería ser realmente emocionante para la escuela.
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Nos interesa la popularidad de las matemáticas en una clase del colegio. Se hace la sencilla pregunta "¿Te gusta el tema?" con las opciones de respuesta "sí" o "no".
Así es como se ve en el diagrama de árbol: Súper sencillo. Hay un nodo y dos ramas.
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¿Qué es un experimento aleatorio de varias etapas?
También es bastante sencillo. Se trata de varios experimentos aleatorios que suelen realizarse uno tras otro. Se puede repetir el mismo experimento aleatorio, pero también se pueden combinar diferentes experimentos aleatorios de esta manera.
Veamos algunos ejemplos.
Por ejemplo, podría interesarse por la popularidad del español y de las matemáticas en una clase del colegio. Entonces son dos encuestas que se realizan una tras otra.
O quiere saber si los niños tocan un instrumento en una clase del colegio y/o si están en un club deportivo. De nuevo, dos encuestas o al menos dos elementos diferentes en un cuestionario.
Los experimentos aleatorios conocidos de lanzar una moneda o un dado también son adecuados para la aplicación múltiple.
Del mismo modo, también se pueden realizar múltiples pruebas médicas, por ejemplo, para confirmar un diagnóstico. O para obtener una imagen completa del estado de salud de una persona.
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Veamos con más detalle uno de estos experimentos.
Veamos los ejemplos con más detalle y empecemos por la popularidad de las asignaturas de español y matemáticas en una clase del colegio. Realmente, este pequeño estudio es suficiente para entender los aspectos principales.
Se hace la sencilla pregunta "¿Te gusta el tema?" con las opciones de respuesta "sí" o "no". Entonces hay cuatro respuestas posibles. A una persona le puede gustar exactamente uno o ninguno de los dos temas o ambos. También en este caso, las posibilidades pueden representarse en un diagrama de árbol.
"A la persona le gusta la asignatura de español", "A la persona no le gusta la asignatura de español" se escribe de la misma manera que "A la persona le gusta la asignatura de matemáticas", "A la persona no le gusta la asignatura de matemáticas" en los nodos.
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De forma similar, también se podría utilizar una tabla de cuatro campos para la presentación. También es adecuado para presentar los resultados de forma fácilmente legible. Veamos esto con un ejemplo práctico.
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Supongamos que las preguntas se formularon en una clase de 28 alumnos. Entonces, la tabla de cuatro campos completada podría tener este aspecto:
De los 28 alumnos, a 14 les gustan tanto las matemáticas como el español, a 5 sólo las matemáticas, a 6 sólo el español y a 3 ninguna de las dos materias. Luego se puede hacer la suma en filas y columnas y obtener declaraciones individuales.
Por ejemplo, a 19 alumnos les gustan las matemáticas como asignatura, independientemente de su opinión sobre el español. Mire las cifras individuales e interprételas usted mismo. Sin embargo, una cosa es segura: el número 28 debe estar abajo a la derecha, porque hubo una respuesta de todos los alumnos de la clase.
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Habíamos introducido los números absolutos en la tabla de cuatro campos, pero lo que suele interesar son los valores relativos. Se pueden determinar fácilmente dividiendo los valores respectivos por 28. Entonces la tabla de cuatro campos se parece a la que se muestra aquí.
La suma de los dos valores de la fila de abajo y de la última columna debe ser entonces, por supuesto, 1.
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Veamos otro ejemplo. Lanzamos una moneda dos veces y nos interesa saber si sale cara o sello.
Aquí también hay cuatro posibles resultados del experimento:
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Si el experimento aleatorio se lleva a cabo varias veces, tiene sentido anotar los resultados en una tabla de cuatro campos.
Este es el resultado de 100 experimentos. Este número se encuentra, claramente, en la celda de la esquina de abajo a la derecha.
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Obviamente, también se pueden hacer fácilmente frecuencias relativas a partir de estos números absolutos. Esta vez es aún más fácil, porque la división por 100 es realmente sencilla.
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El siguiente experimento aleatorio es también de dos etapas.
Los dados se lanzan dos veces. Nos gustaría saber si se ha lanzado al menos un 6. Hay cuatro posibles resultados del experimento:
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De nuevo, la representación en el diagrama de árbol es útil, pero también en la tabla de cuatro campos.
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¿Podría ser un poco más complejo?
Lanzamos un dado tres veces y nos interesa saber si sale al menos un "6". Entonces se trata de un experimento aleatorio de tres etapas. Estos son los resultados posibles:
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¿Qué representación es adecuada para este experimento aleatorio?
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Es muy conveniente que siempre se pueda utilizar un diagrama de árbol. El experimento aleatorio de tres etapas tiene, como es lógico, una etapa más que el experimento aleatorio de dos etapas.
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Un experimento de varias etapas no siempre significa que haya otro experimento aleatorio para cada resultado parcial.
Cuando se realizan pruebas de COVID-19, se suele hacer primero una prueba de antígenos y, sólo si el resultado es positivo, se realiza también una prueba de PCR. Esto puede mostrarse fácilmente en un diagrama de árbol. Una tabla de cuatro campos no es adecuada en este caso.
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Resumamos brevemente lo que hemos hablado hoy.
Hemos considerado experimentos aleatorios de varias etapas. Son una sucesión de experimentos aleatorios simples. El término simple significa que son experimentos de una sola etapa.
Nos preocupaba la comprensión del término y las representaciones adecuadas.
Ahora sabemos que para todos los experimentos es útil y posible mostrar los resultados en un diagrama de árbol. Pero sólo en el caso de los experimentos aleatorios de dos etapas es posible también una tabla de cuatro campos, y eso sólo si los dos experimentos son independientes entre sí.
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Eso es todo por hoy. Muchas gracias por su interés. Nos vemos la próxima.