23 Bastante complejo: el azar en condiciones.

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Muy buenos dias para todos y todas. Bienvenidos y bienvenidas a este nuevo episodio, que trata del azar y de las condiciones de ciertos eventos. Va a ser -permítanme decirles esto- bastante complejo esta vez.

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Esta es la cuestión fundamental: ¿las probabilidades son siempre cantidades fijas? ¿O dependen también de las circunstancias respectivas? Expliquemos primero de qué se trata con un ejemplo.

Para ello, nos fijamos en las matemáticas y la música, o -mejor dicho- en la afición a la música, teniendo en cuenta el amor a las matemáticas. Quizá haya oído que los matemáticos suelen tocar un instrumento con virtuosismo. Así que esa es la cuestión.

¿Es realmente cierto que una persona a la que se le da bien las matemáticas tiene más probabilidades de tocar un instrumento musical que una persona sin afinidad con la materia?

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Una vez más, no podemos evitar una encuesta. Sin embargo, admito que esta vez me he inventado los números para facilitar el cálculo.

Supongamos que 1.000 alumnos participan en una encuesta sobre el tema. Para el criterio "bueno en matemáticas", se utilizó la nota del informe, que debería ser como mínimo un "4". El criterio "toca un instrumento" debe cumplirse si se toca música al menos dos veces por semana. Por supuesto, se podría discutir sobre estas especificaciones, porque influyen claramente en la evaluación de la declaración. Pero ese no debería ser nuestro tema ahora.

Más bien, miramos la tabla y los números. En las cuatro cajas están las cuatro posibilidades: O bien la persona toca un instrumento y es bueno en matemáticas, o bien sólo se cumple uno de los criterios o la persona no está realmente entusiasmada ni con las matemáticas ni con el instrumento.

En las cajas correspondientes se ven los números que tienen que sumar 1.000:

90 hacen música y son buenos en matemáticas, 590 no pueden hacer ninguna de las dos cosas, y 110 y 210 cumplen exactamente un criterio.

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Esta es la misma tabla, pero hemos convertido los números absolutos en números relativos que pueden leerse como porcentajes: el 9% hace música y se le dan bien las matemáticas, el 59% no hace ni música ni matemáticas con entusiasmo, el 11% y el 21%, respectivamente, cumplen exactamente uno de los criterios.

En cuanto a los criterios, 200 alumnos -el 20%- son buenos en matemáticas y 300 -el 30%- tocan un instrumento con regularidad.

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Por supuesto, también se puede utilizar un diagrama de árbol para la representación aquí. 200 o el 20% o 2/10 son buenos en matemáticas y, en consecuencia, 8/10 no lo son. Lo introducimos en el primer paso.

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Y ahora vemos el siguiente paso inmediatamente con referencia al primer paso. De los 2/10 que son buenos en matemáticas, 90 de 200 tocan un instrumento y 110 de 200 no. Esto corresponde a 9 de 20 y 11 de 20, respectivamente. Verá estos números introducidos aquí como fracciones.

Del mismo modo, en relación con los que no tienen una nota especialmente buena en matemáticas, 210 de 800 o 21 de 80 tocan un instrumento y 590 de 800 o 59 de 80 no lo hacen.

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Laura fue seleccionada al azar de todos los estudiantes participantes.

Así que con una probabilidad de 3/10 toca un instrumento musical al menos dos veces por semana.

¿Cambia algo si también se sabe que es buena en matemáticas?

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Probablemente, y es fácil considerar por qué debería ser así. Laura forma parte de una muestra de 200 personas, de las cuales 90 (algo menos de la mitad) tocan regularmente un instrumento.

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Calculamos.

En último término, se trata de nuevo de dividir el número de casos favorables entre el número de casos posibles.

Favorable significa que se cumplen ambas condiciones.

Posible significa que al menos la nota de matemáticas es buena.

La probabilidad de que Laura toque un instrumento si es buena en matemáticas es, pues, de 90/200 o 45/100 o 45%.

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Y eso se puede encajar en una fórmula, tanto si le gustan las fórmulas como si no.

Ponemos      A = “es bueno en matemáticas”

Así como      B = “toca un instrumento”.

Determinamos P (Laura toca un instrumento, si Laura es buena en matemáticas) utilizando las probabilidades de los casos favorables y posibles.

Se escribe como se muestra en la diapositiva y se lee P de B dado A.

P(B|A) = P(A ∩ B) : P(A)

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Veamos otro ejemplo.

Lanzamos los dados dos veces: ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos la suma de los puntos "9" si la primera lanzada da como resultado un "5"?

Estas son las variables:

          A := Se lanza un “5”; B := Se lanza al menos la suma de los puntos “9”.

Esto es una vez más la fórmula:

          P(B|A) = P(A ∩ B) : P(A)

Es P(A) = 1/6 y P(A ∩ B) = 3/36 (compare la diapositiva 8 o considere, que 5+1, 5+2, 5+3 son todos menores que 9).

Entonces P(B|A) = 3/36 : 1/6 = 1/2.

Vale, hay que admitir que probablemente podría haberlo hecho sin fórmula ;-).

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Y una vez más, los ejemplos casi nunca vienen mal.

En un estudio sobre la eficacia de una vacuna, se incluyeron 1000 personas. Se vacunaron (A) o no se vacunaron y (por supuesto, sólo después de la vacunación) enfermaron (B) o no. Se ven las cifras absolutas.

Obviamente

P(A) =  400/1000 = 2/5 = 0,4

P(B) =  200/1000 = 1/5 = 0,2

P(A ∩ B) = 50/1000 = 1/20 = 0,05

Entonces P(B|A) = 1/20 : 2/5 = 1/8 = 0,125

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Definimos.

Si A y B son sucesos en un experimento aleatorio, entonces

         

es la probabilidad condicional del suceso B dado el suceso A.

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Se obtiene lo que se llama la fórmula de Bayes.

Si A y B son sucesos de un experimento aleatorio con P de A mayor que 0 y P de B mayor que 0 entonces se obtiene la fórmula conocida por todos, como se observa en la diapositiva.

Por favor, eche un vistazo a esto con calma.

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Consideramos la fórmula como una oportunidad para un último y conocido ejemplo.

¿Todavía se acuerda de los palitos de pescado?

Estábamos temiendo que el 1% estuviera contaminado con carne de caballito de mar ;-) . La prueba detectó el resultado correcto en el 90% de los casos.

Espero que recuerden esta diapositiva del episodio 17.

En este episodio habíamos calculado todas las probabilidades a mano. Ahora vamos a intentarlo con la ayuda de la fórmula.

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¿Cuál es la probabilidad de que un palito de pescado dé positivo suponiendo que

esté contaminado?

Simplemente, esto es lo que se sabe de la prueba. Es P(positivo | contaminado) = 0,9 .

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¿Cuál es la probabilidad de que un palito de pescado dé contaminado suponiendo que esté positivo?

Esto es, por supuesto, idéntico a nuestro resultado "tejido a mano".

Diapositiva 17

En una forma ampliada, la fórmula de Bayes establece un vínculo entre los acontecimientos de un experimento aleatorio y sus sucesos complementarios. Y este vínculo debe ser al menos mencionado.

Si A y B son sucesos de un experimento aleatorio, entonces

         

y sensiblemente asumimos que todas las probabilidades que ocurren en el denominador son mayor que 0.

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Resumamos lo que hemos tratado hoy:

• Una vez más, estudiamos los experimentos aleatorios de varias etapas.
• A continuación, analizamos las probabilidades condicionales y queríamos saber si la probabilidad de un suceso puede cambiar si se dispone de información adicional.
• Para determinar estas probabilidades condicionales, conocemos la fórmula de Bayes. Es una herramienta muy útil.

Pero no lo olvide. Al final, siempre se trata de determinar el número de casos favorables y el número de casos posibles, porque a eso se remonta toda probabilidad.

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Eso es todo por hoy. Muchas gracias por estar con nosotros y nos encontraremos de nuevo en el próximo episodio. Y entonces volveremos a utilizar lo que hemos elaborado hoy - no del todo sin esfuerzo. Hasta la próxima.