Mis notas para esta página:

Del conteo a la probabilidad. El importante papel de la combinatoria.

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Hola, señoras y señores. Volvamos a charlar de las matemáticas. Hoy vamos a hablar de la introducción al concepto matemático de probabilidad.  En particular, veremos cómo se pueden relacionar el razonamiento combinatorio y el concepto de la probabilidad. Pero también veremos un ejemplo en el que esto no es posible en principio y tenemos que confiar en el experimento concreto.

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Veamos algunas reflexiones sobre el desarrollo del concepto de probabilidad. La atención se centra en los experimentos aleatorios. Como su nombre indica, el resultado de este experimento no es predecible. Cuando lanzamos una moneda o un dado, no conocemos el resultado de antemano. Sin embargo, sabemos que sólo son posibles ciertos resultados, como cara / sello o cruz o uno de los números del 1 al 6.

En detalle, también podemos determinar en que resultado estamos interesados. Por ejemplo, hay juegos en los que sólo nos interesa si sale un "6" o no. Como en el juego del parchís – un juego muy popular en España.

Agrupamos estas posibilidades en un conjunto de resultados, que por regla general se denota por Ω (omega), y que - como ya se ha indicado - será determinado antes de realizar el experimento.

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Lo sé, a veces, una letra griega como la básicamente inofensiva Ω (omega) puede dar miedo. Pero viendo algunos ejemplos todo se volverá bastante sencillo y claro.

Supongamos que tiramos los dados con un dado de juego regular. Entonces podemos interesarnos por cuál de los números entre el 1 y el 6 sale. Nuestro conjunto Ω1 comprendería entonces exactamente estos números.

Hay un juego muy popular en Alemania en el que sólo puede comenzar si se saca un “6“. Por eso dos resultados son interesantes, a saber “6” u “otro número”. Puede ver las posibilidades en el conjunto Ω2. También podría ser interesante si sale un número par o impar. Esto ejemplo se ve en el conjunto Ω3.

Puede parecer abstracto, pero tiene consecuencias. En el primer ejemplo, tenemos seis posibilidades, todas las cuales deberían salir el mismo número de veces a la larga. En el segundo ejemplo, hay dos posibilidades, una de las cuales tiene muchas más probabilidades. ¡Pregunte a un niño sobre eso! Y en el tercer ejemplo, también hay sólo dos posibilidades, pero ambas deberían estar representadas en la misma medida razonablemente.

En principio, da igual que se lance una moneda o que se salga una bola de una urna. Es posible definir qué resultados nos interesan en una determinada situación.

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Una partida de fútbol también es un experimento aleatorio. Hay tres resultados posibles, a saber, que el equipo 1 gane, que el equipo 2 gane o que se produzca un empate. No me diga que eso no se aplica a equipos como el Bayern de Múnich o el Real Madrid. Estos equipos también han perdido inesperadamente contra rivales aparentemente inofensivos. Qué aburrido sería el fútbol sin esta posibilidad.

Una vez más, la idea principal de un experimento aleatorio es simple: los resultados posibles son de antemano conocidos. Sin embargo, no se puede influir en cuál se producirá y no se sabrá antes de llevar el experimento a cabo.

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¿Qué es lo que entendemos por probabilidad? Tratamos dar una respuesta escuchando a Pilar y Pablo. Les presento tres situaciones en lo que hablan sobre cosas probables.

La hermana de Pilar quería visitarla esta tarde. Pero son casi las seis y todavía no ha venido. “Es muy probable que se haya olvidado de la cita”, dice Pablo.

“Comamos sin ella. Lancemos una moneda sobre quién lava los platos”, sugiere Pilar. “Entonces tengo un cincuenta por ciento de posibilidades de no tener que hacerlo".

“Tengo una tachuela aquí”, dice Pablo. " Usémosla para decidir. Si cae de lado, lavaré yo, si no, tú".

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En esta primera situación tratamos una conjetura. Es casi imposible controlar matemáticamente a la hermana de Pilar, porque las razones de su ausencia son múltiples y en principio no pueden estimarse.

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La segunda situación parece fácil. Teóricamente, se puede suponer que una moneda mostrará "cara" “sello” o "cruz" al azar y en un número de veces aproximadamente igual después de ser lanzada repetidamente. En lugar de "azar" se hablaría de "probabilidad".

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La tercera situación es una vez más poco complicada. Puede caer de cabeza o de lado, y para ello hay que determinar experimentalmente las frecuencias. No hay ningún supuesto teórico para el resultado, pero la situación es en principio manejable y adecuada para el concepto matemático de probabilidad.

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Los métodos de conteo en combinatoria son herramientas importantes para determinar las probabilidades.

Veamos ejemplos de cómo se pueden establecer conexiones específicas entre el conteo y la probabilidad. También esta vez sacaremos primero bolas de diferentes colores de una urna.

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Experimentamos con urnas de contenidos diferentes.

Sacamos una bola, la devolvemos y sacamos una vez más otra bola. En la urna 1 hay dos bolas, una azul y otra roja. En la urna 2 hay dos bolas azules y dos bolas rojas. En la urna 3 hay tres bolas azules y dos bolas rojas.

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La urna 1 está simple. En principio, hay tres resultados posibles: Puede sacar dos bolas rojas, dos azules o una roja y otra azul.

PERO: Para el tercer resultado hay dos posibilidades, es decir, primero rojo y luego azul o primero azul y luego rojo.

Para los otros dos casos, sólo hay un resultado posible para cada caso del total de las cuatro posibilidades.

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Obviamente, podemos pasar de estas consideraciones combinatorias al concepto de probabilidad. Lo denotamos por "p" de "probabilidad" y establecemos

p(dos veces rojo) = ¼ (un cuarto)

p(dos veces azul) = ¼, (un cuarto)

y p(una vez rojo y una vez azul) = 2/4 (dos cuartos) = ½ (un medio)

Es plausible, ¿verdad? Vamos a suponer que cuando sacamos una bola a ciegas, cada una de ellas tiene la misma chance. En lugar de "chance", decimos "probabilidad".

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Veamos la urna 2 y hagámoslo con mucho detalle. La primera vez se puede sacar una de las cuatro bolas. Y ahora no tenemos en cuenta que no se pueden distinguir todas entre sí. Es lo mismo la segunda vez. Ahí también sacamos una de las cuatro bolas. Esto da un total de 4 • 4 = dieciséis posibilidades. Cuatro de ellos se refieren a la combinación azul/azul, cuatro a la combinación rojo/rojo y ocho a la combinación azul/rojo en cualquier orden.

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Como es lógico, el razonamiento combinatorio llega a las mismas probabilidades que para la urna 1:

p(dos veces rojo) = 4/16 (cuatro dieciseisavos) = ¼ (un cuarto)

p(dos veces azul) = (cuatro dieciseisavos) = ¼ (un cuarto)

y p(una vez rojo y una vez azul) = 8/16 (ocho dieciseisavos) = ½. (un medio)

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Incluso la última urna se puede manejar fácilmente contando. Recuerda: Suponemos que cada una de las cinco bolas de la urna 3 se extrae con la misma probabilidad. Por supuesto, si sólo cuenta o si piensa estructuralmente, no cambia el resultado. Hay un total de 5 • 5 = veinticinco posibilidades, de las cuales 2 • 2 = 4 muestran la combinación rojo/rojo, 3 • 3 = 9 la combinación azul/azul y tres por dos más dos por tres es igual a doce la combinación azul/rojo (y aquí no importa en qué orden).

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Por lo tanto, las probabilidades que se establecen en la urna 3 también son:

p(dos veces rojo) = 4/25 (cuatro veinticincoavos)

p(dos veces azul) = 9/25  (nueve veinticincoavos)

y p(una vez rojo y una vez azul) = 12/25 (doce veinticincoavos).

Y cualquier otra cosa contradiría el sentido común, ¿no?

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Resumamos algunos hechos que acabamos de ver. Todo parece muy sencillo, pero veremos el beneficio no sólo hoy, sino en principio al tratar el concepto matemático de probabilidad.

En primer lugar: en cada caso sacamos una bola roja o azul. ¿Qué más? En otras palabras, conocemos todos los resultados posibles.

Entonces podríamos asignar una probabilidad teórica a cada secuencia de bolas. Argumentamos que esto es plausible.

Por último, trabajamos con tres urnas diferentes. La disposición de los experimentos fue siempre la misma: sacar dos veces seguidas una bola. Las posibilidades principales también eran las mismas, porque se pueden obtener dos bolas rojas o dos azules o una roja y una azul. Las probabilidades difieren, sin embargo, siempre prevalece este principio:

p(dos veces rojo) + p(dos veces azul) + p(una vez rojo y una vez azul) = 1.

Claro, porque juntos eran 8 de 8 posibilidades o 16 de 16 posibilidades o 25 de 25 posibilidades o en general n de n posibilidades. Si lo escribe como una fracción, obtiene ocho octavos o dieciséis dieciseisavos o veinticinco veinticincoavos y eso es igual a 1 en cada caso.

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¿Pero qué hacemos con las tachuelas? Aquí, obviamente, no hay ningún supuesto teórico que pueda ayudar. Por eso he lanzado una tachuela 1000 veces. El resultado fue tres cientos sesenta y siete veces cayó en el lado, seis cientos treinta y tres veces en la cabeza.

Y así, al menos, es suficiente para una probabilidad empírica: p(cabeza) es igual a seis cientos treinta y tres milésimos y p(lado) es igual a tres cientos sesenta y siete milésimos.

Pero me temo que eso sólo se aplica a esta caja de tachuelas y a mi método de lanzamiento (10 tachuelas en un cubilete de dados). Búsquedas en Internet arrojaron un resultado de treinta por ciento de probabilidad para caer “de cabeza".

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De nuevo, podemos resumir y llegar a consideraciones básicas similares a las de las tres urnas con bolas rojas y azules.

En todos los casos, la tachuela cae de lado o de cabeza cuando se lanza. Así que, de nuevo, sabemos cuáles son los posibles resultados.

Podemos asignar una probabilidad a cada uno de estos dos resultados, pero aquí se obtuvo empíricamente.

No es relevante si esta probabilidad se consolida con más intentos o no. Siempre prevalece:

p(de-lado) + p(de-cabeza) = 1

Y, por supuesto, esto funciona para todos 1000 lanzamientos y sin duda también para cada otro número de lanzamientos.

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Esto fue todo por hay. Gracias por escucharme y hasta la próxima.