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Bienvenidas y bienvenidos a esta charla matemática. Hoy hablaremos sobre la combinatoria en general y una técnica de conteo en particular. Vamos a investigar situaciones en las que es importante contar de una manera muy sistemática.
La combinatoria se ha vuelto cada vez más importante para la enseñanza en el aula en los últimos años. La razón de esto es que es importante para la vida cotidiana. Para nosotros, como profesores de matemáticas, esto es algo muy positivo. Es un campo de las matemáticas en el que se puede enseñar con muchas actividades de los estudiantes. Creo que es por eso que podemos motivarlos de una manera muy simple y sostenible.
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Los estándares de matemáticas subrayan el significado del pensamiento aleatorio y de los sistemas de datos. Una base es la combinatoria. La cuál es una parte de las matemáticas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones y es importante para desarrollar la teoría de probabilidades.
El aspecto central son las técnicas de conteo, es decir, combinaciones con y sin repetición. Veamos que significa eso. Y además por qué jugamos con pelotas.
Hoy vamos a investigar los fundamentos de la teoría de la probabilidad. Hay una regla especial que es muy importante. A veces dicen que se llama la regla del producto o la regla de la multiplicación.
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Ya he dicho que los estándares de matemáticas comprenden aspectos de la combinatoria. Un ejemplo, son los estándares básicos de competencias de matemáticas en Colombia para los grados sexto, séptimo, octavo y noveno.
En esos estándares encontramos por ejemplo: “Conjeturar acerca del resultado de un experimento aleatorio usando la proporcionalidad y las nociones básicas de probabilidad y calcular la probabilidad de eventos simples usando métodos diversos”.
He destacado algunos aspectos esenciales de la combinatoria en la diapositiva, a saber, los diagramas de árbol y las técnicas de conteo.
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Veamos un ejemplo. Lanzamos dos dados y nos concentramos en el enfoque de frecuencia.
Organizamos los resultados en una tabla.
6 más 1 son 7, 1 más 1 son 2, 1 más 2 son 3, 4 más 6 son 10, 4 más 5 son 9, 3 más 6 son 9, 5 más 1 son 6, 5 más 6 son 11.
Lanzamos dos dados 100 veces y determinamos las frecuencias absolutas. Se ven los resultados en el lado derecho. Obviamente las sumas 5, 6, y 7 fueron más frecuentes que las sumas 2, 3, 11 y 12.
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Transferimos los resultados a un patrón en el que las diferencias pueden ser leídas rápidamente y también claramente. No hay duda de que en este intento las sumas medianas ocurren con mayor frecuencia que las pequeñas o grandes.
¿Será constante este resultado si repetimos el experimento? Por supuesto que no. Es una buena tarea en clase llevar a cabo este experimento en grupos. Todos producirán resultados diferentes. Y no se preocupe si hay un poco más de ruido de lo habitual. Así es como funciona la enseñanza orientada a la acción y a la práctica.
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Una vez más: Lanzamos dos dados. Pero en este experimento nos concentraremos en el enfoque combinatorio. ¿Cuáles son las posibilidades teóricas de la suma de los puntos?
Vemos un patrón perfecto. Esto se puede ver también en las frecuencias relativas en el lado derecho de la diapositiva.
Se puede ver la diferencia entre el experimento real y el enfoque teórico. Este enfoque sirve para explicar los resultados prácticos y forma parte de la combinatoria como campo matemático.
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Lancemos una moneda cinco veces y enfoquémonos de nuevo en la frecuencia. Veamos el resultado.
¿Qué piensan de este resultado? ¿Es realmente al azar? Por supuesto que si. Es posible lanzar una moneda y obtener el resultado de que siempre muestra el número.
Pero ¿que les parece a sus estudiantes? Podrían verlo de manera diferente porque es un resultado poco probable. Hay estudiantes que tienen dificultad para distinguir entre lo improbable y lo imposible.
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Haremos otro experimento y lanzaremos una moneda cinco veces.
¿Qué piensa de estos resultados? ¿Que les parece a sus estudiantes? Puede ser que todos se sientan mejor con estos resultados porque son más probables.
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Digamos que usted apuesta 100 euros a que al menos saldrá una vez cara. ¿Qué pensaría si en los tres primeros intentos sale cruz / sello?
Compare los resultados. ¿Hay alguno que sea más aleatorio? Quien sabe. Pero es obvio: necesitamos una perspectiva más teórica.
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Aquí ven todas las combinaciones posibles considerando el orden en que la moneda fue lanzada. En este caso tenemos 32 resultados diferentes; son dos posibilidades por la primera tirada, dos por la segunda, dos por la tercera, dos por la cuarta y dos por la quinta.
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Investigar situaciones como esta de manera sistemática es una tarea de la combinatoria. Es un componente fundamental de las matemáticas que se ocupa de la determinación de los números.
Hay aplicaciones típicas en la combinatoria para determinar números. Examinaremos esto a continuación. Comencemos con la regla de la multiplicación e introduzcámosla con un ejemplo, a saber, una cerradura de combinación.
¿Entre cuántas combinaciones es posible elegir una combinación de cinco puestos? Son diez dígitos y por eso hay diez posibilidades por el primero, diez por el segundo, diez por el tercero, diez por el cuarto y diez por el cinco. En suma, son
10 por 10 por 10 por 10 por 10 es igual a 10 a la potencia 5 es igual a 100.000
combinaciones posibles.
Bastante fácil, ¿o no?
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Otro ejemplo: Lancemos cuatro dados diferentes. ¿Cuántas combinaciones diferentes son posibles?
También es una tarea muy fácil. Hay seis resultados posibles si se lanza un dado y por eso hay 6 por 6 por 6 por 6 es igual a 6 a la potencia 4 es igual a 1.296 combinaciones posibles.
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Consideremos otro ejemplo: como vestirse de forma diferente con un vestuario limitado.
¿Conoce a Jorge? Aquí está.
Tiene tres camisas en verde, azul y amarillo, dos pares de pantalones en azul y rojo y dos pares de zapatos en verde y marrón. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?
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Creo que es también una tarea fácil determinar este número. Vamos a ver.
Tiene tres camisas: uno, dos, tres. Tiene dos pantalones: Uno, dos, uno, dos, uno, dos. Y tiene dos pares de zapatos: Uno, dos, uno, dos … etcétera.
En suma, tiene 3 por 2 por 2 es igual a 12 posibilidades de vestirse.
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Lo que hemos acabado de hacer es un diagrama de árbol, una forma de representar estos datos que es muy adecuada en este contexto.
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Hay muchísimos ejemplos que son adecuados para trabajar con ellos en clase. Veamos otro, el menú con tres platos
¿Qué menú prefieren? ¿Cuántos menús diferentes se pueden combinar? ¿Cuál es el principio detrás de este menú?
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Por supuesto es el mismo principio de la regla de multiplicación o del producto. Hay 2 por 3 por 3 es igual a 18 menús diferentes. Hemos obtenido otro diagrama de árbol.
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La regla del producto o de la multiplicación es una herramienta fundamental de la combinatoria. Veamos su forma general.
Imagínese que tienen que rellenar n puestos. Si hay
k1 posibilidades por el puesto 1,
k2 posibilidades por el puesto 2,
…
kn posibilidades por el puesto n,
hay k1 por k2 por … por kn posibilidades diferentes de rellenar los n puestos.
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Es hora de tomar un respiro. Muchas gracias por su atención y hasta la próxima.