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Bienvenidos y bienvenidas a esta charla matemática. Nuestro tema de hoy son los resultados de los experimentos aleatorios en los que el orden es importante. Por supuesto es interesante si un corredor acaba el primero, el segundo o el tercero. Pero la combinatoria se interesa por las posibilidades principales no por el evento deportivo.
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Comencemos con un ejemplo.
ASCII, el American Standard Code of Information Interchange se utiliza para codificar la información. Sigue una lógica sencilla: Un byte consta de 8 unidades de memoria. Pueden estar activadas (estado "1") o desactivadas (estado "0"). Si se pone un estado a 0 y el otro a 1, entonces para cada uno de estos ocho lugares existe la posibilidad de llenarlo con 0 o 1. Por eso es posible de formar
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 28 = 128
dos por dos por dos por dos por dos por dos por dos por dos
igual a 2 a la potencia ocho igual a ciento veintiocho
Palabras de ocho caracteres. Por supuesto el orden es importante y 0101010101 es distinto de 10101010.
Ocho unidades son suficientes para codificar las letras mayúsculas y minúsculas del alfabeto latino, los dígitos del 0 al 9 y algunos signos de puntuación y caracteres de control.
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La quiniela de futbol es otro ejemplo en que el orden es importante. En Alemania esta apuesta requiere que se prediga el resultado de 13 partidos. Las posibilidades son victoria o derrota para el equipo en primer lugar del boleto o empate.
Así que hay 313 = 1.594.323
Tres a la potencia de trece, que es igual a un millón quinientos noventa y cuatro mil trescientos veintitrés
posibilidades diferentes para rellenar el boleto de apuestas. Cada uno de los trece juegos puede tener cada uno de los tres resultados posibles.
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En general, este experimento no es otra cosa que sacar y devolver bolas teniendo en cuenta el orden de salida.
Ejemplo
En una urna hay tres bolas distintas. Sacamos dos veces una bola.
¿Cuántas posibilidades habrá al sacar una bola, devolverla y sacar otra más? En este experimento el orden es importante.
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Muy fácil: Hay 3 • 3 = 32 = 9
Tres por tres por tres – tres al cuadrado – igual a nueve
posibilidades.
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No es diferente cuando hay unas cuantas bolas más.
Hay 8 bolas distintas en esta urna. ¿Cuántas posibilidades diferentes habrá al sacar cinco bolas una tras otra, si se devuelven cada vez y además se tiene en cuenta el orden?
Muy fácil, hay
8 • 8 • 8 • 8 • 8 = 85 = 32.768
ocho por ocho por ocho por ocho por ocho – ocho a la potencia de cinco – igual a treinta y dos mil setecientas sesenta y ocho
posibilidades.
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De nuevo lo hacemos de forma bastante sistemática: sacamos, devolvemos y tenemos en cuenta la secuencia exacta. Lo que hacemos – en las palabras de un matemático – es sacar con repetición y cuidando el orden.
La base es un conjunto de n ene elementos. Sacamos secuencias de k ka elementos. Se denominan k-tuplas. Es posible llenar cada una de las k ka posiciones con el mismo elemento. Hay nk ene a la potencia de ka posibilidades.
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Su turno: ¿Hay otras aplicaciones? Piense en algunas como este ejemplo de Ema y su cerradura de combinación.
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Veamos de nuevo la carrera de caballos. Si quiere saber cuántos resultados diferentes tiene teóricamente una carrera con 20 caballos, puede determinarlo fácilmente.
Para el primer puesto son posibles 20 veinte caballos, para el segundo 19 diecinueve, para el tercero 18 dieciocho, para el cuarto 17 diecisiete y así sucesivamente. En total hay 20! = 20 • 19 • 18 • 17 • … • 3 • 2 • 1
Factorial de veinte o lo que es igual a veinte por diecinueve por dieciocho por diecisiete etcetera hasta llegar a por dos por uno
posibilidades. ¿Pero a quién le importa esto?
En la práctica es mucho más interesante ver que caballos terminarán entre los tres primeros puestos y cuántas posibilidades hay para ello.
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¿Conoce la ”apuesta de tres caballos"? Forma parte de las carreras de caballos. La pregunta es ¿qué tres caballos de los 20 que están en la salida terminarán entre los tres primeros?
¿Cómo se hace el calculo aquí?
Bueno, multiplicando, ¡qué otra cosa sino! ¿Pero cómo? Bastante simple en realidad. Evidentemente existen
20 • 19 • 18 = 6840
veinte por diecinueve por dieciocho, igual a seis mil ochocientos cuarenta
posibilidades.
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Esta tarea sigue la misma idea: Si diez personas se sientan en cuatro sillas distintas
el número de posibilidades diferentes de ordenarlos será 10 • 9 • 8 • 7 = 5040.
Diez por nueve por ocho por siete, igual a cinco mil cuarenta
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Ahora de forma bastante sistemática: sacamos una bola, no la devolvemos, pero tenemos en cuenta la secuencia exacta. Lo que hacemos es sacar sin repetir (es decir, sin devolver) y prestando atención a la secuencia.
Se ve otro ejemplo:
Hay ocho bolas distintas en una urna. Sacamos cinco veces una bola sin devolverla. ¿Cuántas posibilidades diferentes existirían?
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Esta es la solución:
Según la regla de la multiplicación hay
8 posibilidades para el puesto 1
7 posibilidades para el puesto 2
6 posibilidades para el puesto 3
5 posibilidades para el puesto 4
4 posibilidades para el puesto 5
Es decir 8 • 7 • 6 • 5 • 4 =
Ocho por siete por seis por cinco por cuatro
o lo que es igual a factorial de ocho dividido por factorial de tres (seis mil setecientos veinte)
posibilidades.
Partiendo de las permutaciones de 8 elementos, entonces también podríamos escribir 8! dividido por 3!. factorial de ocho dividido por factorial de tres
Ya que las posibilidades determinadas por las tres bolas restantes se omiten.
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Esto es el principio general:
El número de k-permutaciones de un conjunto con n elementos es
n! dividido por (n-k)!.
factorial de ene dividido por factorial de ene menos ka
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Aquí ven otros ejemplos. Creo que deberían resolverlos para entender mejor el principio.
El camarero le acompañará a la mesa... Hay doce mesas vacías en un restaurante. Vienen cinco parejas. ¿Cuántas formas diferentes hay de asignarle una mesa a cada pareja?
En los cien metros lisos olímpicos, ocho corredores pasan a la final. ¿Cuántas posibilidades existen teóricamente para la distribución de las tres medallas?
Tres personas suben a un autobús con ocho asientos libres. ¿Cuántas opciones tienen para sentarse?
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Una vez más, utilizamos el modelo de la urna para describir estas situaciones
En una urna (o en una pequeña bolsa, en cualquier caso opaca) hay bolas que solo difieren en su numeración o color (nunca en su forma). Y ahora solo tiene que sacarlas "a ciegas".
La ventaja del modelo de la urna es que muchos experimentos aleatorios pueden recrearse con él.
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Simulamos la “apuesta de tres caballos": Una vez más utilizamos el modelo de la urna.
Sacamos tres bolas, una tras otra, de una urna con 20 bolas respetando el orden. Esto correspondería a la carrera de caballos de la diapositiva 9.
Y si trabajamos solo con diez bolas, entonces también podemos simular el experimento con las sillas de la diapositiva 10. Las urnas son flexibles.
Nosotros mismos podemos determinar cómo se meten y sacan las bolas.
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Hay muchas posibilidades de materializar una urna y las bolas que contiene, lo que debería hacer que su uso en clase no sea problemático.
La urna puede ser una pequeña bolsa. Las bolas también pueden ser por ejemplo sustituidas por bloques de construcción adecuados.
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¿Le apetece algún otro ejemplo?
Ideen sus propias tareas para esta situación de sacar sin y prestando atención a la secuencia.
Por supuesto, deben ser adecuadas para el aula.
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Eso es todo por hoy. Muchas gracias por su atención y su interés y hasta la próxima.