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Hola y bienvenidos a todos y todas. Hoy hablaremos sobre la permutación. Es un concepto importante no sólo para la combinatoria sino también para el álgebra. Así que estamos hablando de un concepto matemático básico. Pero este concepto también tiene importantes aplicaciones. En particular, veremos lo que conecta las permutaciones con las carreras de caballos.
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¿Que es una permutación? Es un concepto relevante de la combinatoria y puede ser llamado uno de sus fundamentos. Empecemos con un ejemplo para comprender el concepto y su contenido.
Aquí tiene una pizarra y los chicos Ana, María, Julio y Roberto. Ellos quieren resolver un problema matemático juntos. ¿Cuantas posibilidades tienen de alinearse frente al pizarrón?
Para determinar este número necesitamos una nueva herramienta de las matemáticas. No se preocupe, es una herramienta muy fácil.
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Son cuatro niños así que hay cuatro puestos. Puede verlos en el lado derecho encima de la foto.
Por el puesto número 1 hay 4 posibilidades.
Por el puesto número 2 hay 3 posibilidades.
Por el puesto número 3 hay 2 posibilidades.
Por el puesto número 4 se queda solamente una opción.
El resultado es que hay 4 por 3 por 2 por 1 es igual a 24 ordenamientos diferentes.
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Veamos otra situación, pero una que sigue la misma idea principal: Marta estuvo en San Francisco y tomó un montón de fotografías. Quiere colgar tres cuadros en el pasillo, pero no sabe en que orden hacerlo.
¿Cuántas posibilidades de ordenamiento tiene?
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Aquí están todas las posibilidades. Se puede ver que esta tarea también se basa en el principio de permutación.
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Obviamente hay otra vez ...
… 3 posibilidades para el cuadro número 1,
… 2 posibilidades para el cuadro número 2
… y solo 1 posibilidad para el cuadro número 3.
Por eso hay 3 • 2 • 1 = 6 ordenamientos diferentes para colgar 3 cuadros uno al lado de otro.
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¿Cuántos ordenamientos posibles hay para una foto de grupo con estas personas? Exactamente, se sigue el mismo principio.
Son cinco personas, así que hay 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 posibilidades diferentes de ordenarlas. Lo sé. No es necesario añadir “por 1” porque el resultado ya no se modifica. P=ero así es como lo hacen los matemáticos.
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El principio se llama – ya lo he mencionado - permutación. Esta es su fórmula general:
Si un conjunto tiene n elementos, existen las siguientes posibilidades de ordenarlos: n multiplicado por n menos 1 multiplicado por n menos 2 y así hasta llegar al último puesto, que es siempre uno.
Cada posible ordenamiento se llama permutación.
Escribimos muy brevemente n · (n-1) · (n-2) · … · 1 =: n! .
n multiplicado por n menos 1 multiplicado por n menos 2 y así hasta llegar al último puesto, que es siempre uno es igual a n símbolo de exclamación.
n! n símbolo de exclamación se denomina en matemáticas “n factorial“ o “factorial de n“.
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A veces – por ejemplo, en el álgebra – se lee de esta manera:
Dejemos que K sea un conjunto finito. Entonces cada función biyectiva del conjunto K en sí mismo se llama permutación.
¿Y la conexión? Es simple. K es un conjunto finito, por lo que tiene n elementos para un número natural n.
Una función biyectiva asigna de manera invertida y única un elemento de K a cada elemento de K.
Así que cada una de estas funciones determina una permutación, ya que todos los elementos se producen como una imagen original y una imagen bajo la función ("uno a uno").
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Y esto es lo que pasa con el problema de Marta:
Denotamos los cuadros con 1, 2, y 3 y los lugares en la pared también con 1, 2, y 3. En este contexto cada posibilidad combinatoria es una función biyectiva del conjunto K = {1, 2, 3} en sí mismo.
En este ejemplo el cuadro número 1 se queda en el sitio número 1 y los cuadros 2 y 3 cambian en su sitio.
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Hagamos las cuentas. ¿Cuántas funciones de este tipo hay?
Ya desde pequeños números n muchas.
Puede ver en esta lista que el número n! se hace muy grande a gran velocidad.
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Otra vez la misma situación: 20 caballos participan en una carrera. ¿Cuántos resultados diferentes de la carrera son posibles si todos terminan? Muchísimos, exactamente 2.432902 • 1018. El número tiene 19 dígitos y la magnitud es de trillones. Esta palabra no se usa a menudo. Un trillón es un número muy grande con bastantes ceros a la derecha.
Pero independientemente del resultado numérico exacto, es obvio que detrás de este ejemplo se encuentra la misma idea básica que en el ejemplo anterior.
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¿Se acuerda? Hemos trabajado con dados y monedas, con ropa y comida, con cuadros y caballos a lo largo de estas charlas. ¿Hay otros materiales adecuados para presentar las tareas en la combinatoria? Si, hay una posibilidad muy importante. Hablemos sobre el modelo de urna.
En una urna (o en una pequeña bolsa, necesariamente opaca) hay bolas que sólo se diferencian por su color o su numeración (nunca en su forma). La ventaja del modelo de la urna es que muchos experimentos aleatorios pueden recrearse con él.
Esta urna tiene 20 bolas y por lo tanto es por ejemplo adecuada para simular la carrera de 20 caballos. Sólo tiene que sacar una secuencia de bolas "a ciegas”. Obtendrá un posible resultado de la carrera. Bueno, puede hacerlo una vez o quizás dos o tres veces, pero ciertamente no trillones de veces por razones prácticas.
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Es mejor trabajar con números más pequeños, especialmente en el colegio. ¿Que problemas se puede simular con urnas como estas? Piénselo durante un momentito.
A la izquierda se ve una urna con tres bolas de colores diferentes. Se puede utilizar, por ejemplo, para simular el problema de los tres cuadros de Marta.
En el centro hay una urna con seis bolas numeradas del 1 al 6. Obviamente se puede utilizar para simular el lanzamiento de un dado.
A la derecha se ve una urna con cuatro bolas denominadas A, B., C y D. Se puede utilizar, por ejemplo, para simular el problema de los cuatro chicos y la pizarra. Pero hay más posibilidades. Si A y B están interpretados como cara y así mismo C y D como cruz o sello podemos simular la tirada de una moneda.
El método es siempre el mismo: Tiene que sacar una secuencia de bolas "a ciegas”.
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Volvamos a la permutación porque en este momento todavía nos falta un método para representarla. Aquí está: Una vez más un diagrama de árbol es muy adecuado para su representación.
Pero existe una peculiaridad: Si asumimos que estamos trabajando con n elementos y, como siempre, n es un número natural. Entonces hay varias opciones para la selección de los primeros n-1 (ene menos uno) elementos. Para el último elemento sin embargo sólo queda una opción
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Eso es todo por hoy. Muchas gracias por escucharme, por su participación y por su interés. ¡Hasta la próxima!