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Hola, todas y todos. Bienvenidas y bienvenidos a un nuevo episodio en el que volvemos a hablar de matemáticas. Una vez más estamos hablando de experimentos aleatorios y una vez más estamos sacando de una urna (o al menos haciendo algo muy parecido). Esta vez no vamos a devolver nada, y no nos importa el orden. ¡Comencemos!
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Mayte es una joven que viaja con entusiasmo. Y siempre tiene el mismo problema: ¿qué meter en la maleta? Tiene 12 vestidos. Digamos que puede meter cuatro en su maleta. Luego están
12 • 11 • 10 • 9
posibilidades, ¿verdad? ¿O no?
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Es un "o" muy grande, porque no es así como se hace la maleta. Al fin y al cabo, no importa si empaca primero el vestido verde y luego el rojo, o al revés. El orden aquí no tiene importancia.
No le sorprenderá: También aquí hay que pensar primero de forma sistemática.
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Muy simple: Cuando empacamos una maleta, el orden en que lo hacemos no importa para el resultado.
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Nos facilitamos un poco la vida para entender la idea básica y observamos a Pati haciendo la maleta. Sólo tiene – más fácil – cinco vestidos, tres de los cuales puede meter en su maleta.
Hay cinco opciones para el primer vestido, cuatro para el segundo y tres para el tercero. ¡Así que asumamos primero 5 • 4 • 3 posibilidades y eso es – hablando de otra manera y con repertorio matemático – hay sólo cinco factorial dividido por cinco menos tres factorial posibilidades.
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Hay un pequeño problema. Sin embargo, hemos contado algunas combinaciones más de una vez. En este caso se trata de combinaciones de tres vestidos de los mismos colores. Lo sabemos, hay 3 • 2 • 1 es igual a tres factorial de estas combinaciones. Por eso, tenemos que dividir por tres factorial. De las tres factorial es igual a 6 posibilidades sólo quedaría una de cada. Está claro, ¿no?
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Posiblemente es útil repetir la idea con otro ejemplo. Seguro que sabe que muchos juegos de cartas se juegan con 32 cartas. Skat – un juego muy popular en Alemania – es un ejemplo. Se reparten diez a cada una de las tres personas que juegan. ¿Cuántas posibilidades hay para esa mano de diez cartas?
Obviamente, el producto de los números 32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24 y 23 es el punto de partida, es decir, el número treinta y dos factorial dividido por treinta y dos menos diez factoria. Esta vez tenemos que descontar todas las posibilidades de diez de las mismas cartas en un orden diferente. Hay que descontar los diez factorial "duplicados”, que deben ser eliminados.
Como hemos visto antes: Descontar significa dividir por diez factorial.
De este modo, se obtienen sesenta y cuatro millones quinientos doce mil dos cientos cuarenta 64.512.240 posibilidades, un número impresionantemente grande teniendo en cuenta que sólo son 10 cartas de treinta y dos.
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También la lotería de números "6 entre 49" es muy popular en Alemania. Sigue el mismo principio. En este juego tiene que elegir seis números del 1 al 49.
Por supuesto hay 49 • 48 • 47 • 46 • 45 • 44 posibilidades de elegir seis números. Pero el orden no importa y por eso dividimos por seis factorial, es decir, por el número de permutaciones de seis números.
Es una combinación sin repetición y sin tener en cuenta el orden.
El resultado es el número cuarenta y nueve factorial dividido por cuarenta y nueve menos seis factorial y dividido por seis factorial - son más de quince millones de posibilidades.
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¿Qué hemos hecho? Pues bien, hemos analizado tres situaciones que, a primera vista, no tienen mucho en común.
Elegimos tres de cinco vestidos, diez de 32 cartas y, finalmente, seis de 49 números.
Sin embargo, desde el punto de vista de las matemáticas, es más o menos la misma situación. En concreto, hemos determinado
el número de todos los subconjuntos con 3 elementos de un conjunto con 5 elementos,
el número de todos los subconjuntos con 10 elementos de un conjunto con 32 elementos y
el número de todos los subconjuntos con 6 elementos de un conjunto con 49 elementos.
En resumen: hemos determinado los números de ciertos subconjuntos de un conjunto. Y siempre siguiendo la misma idea principal.
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Hemos considerado aquí una situación bastante típica en la combinatoria, a saber, la combinación sin repetición y sin tener en cuenta el orden.
La idea principal:
El número de subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos es ene factorial dividido por ene menos k factorial y dividido por k factorial!.
Aquí n es un número natural, k un número natural o cero y k es menor o igual que n.
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Con esta fórmula, ahora se puede determinar fácilmente cuántas opciones tiene Mayte a la hora de hacer una maleta. ¿Se acuerda? Mayte tiene doce vestidos y quiere meter cuatro de estos en su maleta.
Entonces tiene doce factorial dividido por doce menos cuarto factorial y dividido por cuarto factorial, un total de 4casi quinientos posibilidades. Eso es suficiente para más de un año con diferentes contenidos de la maleta. No habrá ni un momento aburrido en este año.
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¿Le gustaría calcular por si mismo? A continuación, una selección de tareas que, por desgracia, están todas asociadas a situaciones de exámenes.
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Hay un nuevo símbolo para el término ene factorial dividido por ene menos k factorial y dividido por k factorial. Se escribe n y k una encima de la otra y se añade un gran paréntesis alrededor. Este término se llama coeficiente binomial y se lee "n en k" o “n sobre k”.
Una vez más: Aquí n es un número natural, k un número natural o cero y k es menor o igual que n.
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El nombre proviene del hecho de que el coeficiente binomial aparece en los términos binomiales. ¿se acuerda? Es
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
a más b a la potencia 2 es igual a a al potencia 3 más tres por a la potencia dos por b más tres por a por b la potencia dos más b a la potencia 3 etcetera
(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3
a más b a la potencia 3 es igual a a al potencia 2 más dos por a por b más b a la potencia 2 o
(a+b)4 = a4 +4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a+b)5 = a5 +5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
para todas los números reales a y b.
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Estos son sistemáticamente los coeficientes. Forman un triángulo de Pascal.
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Y así es como también se pueden representar los coeficientes. Compruébelo para números pequeños.
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Eso fue todo por hoy. Muchas gracias por su atención y su interés y hasta la próxima.