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Bienvenidos, querida audiencia. Hoy también queremos hablar de matemáticas y, una vez más, se trata del azar. ¿Qué tan aleatorio es realmente el azar? Aclararemos esta cuestión y veremos una vez más que nuestra intuición no siempre es la mejor guía en este asunto.
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Imagine y solamente imagine que lanza una moneda. Coja un lápiz, un papel y anote una secuencia de 25 lanzamientos elegida al azar. Por supuesto, sólo puede utilizar una C de cara o una S de sello. Ya está.
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Y ahora, por favor, lance la moneda de verdad.
Anote el resultado de 25 lanzamientos y vuelva a utilizar cara (C) o sello (S):
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Mire la secuencia inventada.
¿Cuántas veces seguidas tiene sólo la letra C o sólo la letra S?
¿Menos de 5 veces? ¿5 veces o más?
¿Hay alguna diferencia entre la secuencia que escribió "sin más" y el lanzamiento real de una moneda?
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En este caso, yo también realicé el experimento 4 veces seguidas, es decir, lancé la moneda un total de 100 veces. Aquí está el resultado. En total, he encontrado 51 veces "cara" y 49 veces "sello", lo que representa una distribución de frecuencias casi sorprendentemente uniforme.
Pero, por supuesto, la cara y el sello no siempre se alternaban de forma ordenada. En la primera serie, hubo 6 caras sucesivas al principio. En la segunda serie, incluso comenzó con 9 lanzamientos que tuvieron el resultado "sello".
Si ahora lo compara con su secuencia inventada, probablemente se parezca más a la tercera y cuarta secuencia de aquí. Incluso una secuencia de 5 lanzamientos idénticos es probable que sea la excepción, ¿no? Intuitivamente, tenemos miedo de escribir la misma letra con demasiada frecuencia. Pero sabemos que el azar no tiene memoria. Es completamente indiferente al resultado que se haya lanzado la vez anterior.
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Veámoslo más de cerca. Obviamente, se trata de eso:
¿Cuál es la probabilidad de que la misma cara de la moneda aparezca 5 o más veces seguidas en una secuencia de 25? Para responder a esta pregunta, se consideraron 10.000 secuencias aleatorias de 25. El resultado se muestra en la página siguiente.
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El gráfico muestra la distribución del número máximo de elementos en la secuencia sin cambiar de lado.
En el lado izquierdo y marcadas en amarillo están las secuencias en las que 2, 3 o 4 era el número máximo de elementos iguales de la secuencia. Obviamente, en la mayoría de las secuencias el número era exactamente 4.
Pero – y se ve al lado derecho, el lado azul – en más del 50% de los casos de estos 10.000 ensayos, la secuencia más larga sin cambiar de lado tiene al menos 5 elementos y el máximo en todos fue un impresionante 11 elementos de la secuencia.
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Ahora que el generador aleatorio ha dado su opinión, el ser humano no debe quedarse sin ser escuchado. Puede ver los números. En un experimento con 32 personas, cerca del 30% había escrito una secuencia con 5 o más enlaces.
De acuerdo, 32 es, por supuesto, mucho menos que 10.000. Y ya hemos discutido ampliamente la "ley empírica de los números grandes".
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Sin embargo, parece que la gente no tiene un sentido particularmente bueno del azar. Supongo que no hay nada como el experimento real.
Pero, ¿un generador de números aleatorios en un ordenador funciona realmente de forma más fiable que un ser humano? Veámoslo más de cerca. En concreto, vamos a hablar de estas tres cuestiones:
¿Qué hace un generador de números aleatorios?
¿Cómo lo hace?
¿Cómo de al azar son los resultados realmente?
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¿Qué hace un generador de números aleatorios?
Esto es muy sencillo: puede generar números al azar. Por regla general, se trata de números entre 0 y 1, que se generan a 8 o más dígitos. Sin embargo, seguro que también está familiarizado con aplicaciones en las que los números enteros son el resultado. A continuación, se encuentran dentro de ciertos límites que usted mismo puede determinar, por ejemplo, entre 1 y 6, para simular el lanzamiento de un dado.
Pero, ¿cómo se produce esto realmente?
Vamos a entenderlo paso a paso.
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En realidad, siempre se trata de generar aleatoriamente dígitos individuales.
Imaginemos una rueda de la fortuna -como se muestra- con los dígitos del 0 al 9. Si lo hace girar repetidamente, obtiene una secuencia aleatoria de dígitos.
Esto es -siempre que los sectores sean del mismo tamaño y se haga girar la rueda de la fortuna de verdad- una secuencia en la que cada dígito entre el 0 y el 9 aparece con la misma probabilidad.
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¿Cómo conseguimos los números aleatorios que queremos? Muy sencillo.
Supongamos que tenemos una larga lista de dígitos generados aleatoriamente. Si ahora combinamos, por ejemplo, 4 dígitos consecutivos, obtendremos (generado aleatoriamente) uno de los 10.000 números posibles entre 0 ("0000") y 9999.
Y si desea un número entre 0 y 1, simplemente empiece con el "0" y añada cuatro decimales.
En cualquier caso, esto se llama un número aleatorio.
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No hay ninguna rueda de la fortuna escondida en el ordenador.
En última instancia, sólo puede ocuparse de los algoritmos. Así que necesitamos algoritmos adecuados para generar los números correspondientes. Esto es un poco discutible, porque ya no puede ser completamente aleatorio - veremos esto en detalle más adelante. Pero como hay un algoritmo detrás del resultado, entonces hablamos aquí de números pseudoaleatorios.
¿Qué criterios hay que cumplir para un algoritmo de este tipo?
Supongamos que hay que generar números de cuatro dígitos. Entonces habrá los dígitos entre 0 y 9 en aproximadamente una décima de casos, todas las secuencias de dos dígitos en una centésima de casos y todas las secuencias de tres dígitos aproximadamente en una milésima de casos (al menos "a largo plazo", es decir, si genera muchos números).
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Un algoritmo adecuado tiene un principio de funcionamiento sencillo: debe comenzar con un dígito y generar el siguiente a partir de él. En principio, podría funcionar así:
Elegimos un número a1 para empezar. Lo multiplicamos por otro número fijo b, sumamos otro número c y finalmente consideramos el resto si dividimos por d. El resultado es a2.
¿Demasiadas variables? ¿Demasiado abstracto? Como casi siempre, es mucho más fácil con un ejemplo.
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Así que tomemos números concretos. Elegimos a1 = 2, b = 3, c = 4. Con esto se cuenta a1 • b + c = 2 • 3 + 4 = 10, por lo tanto a2 = 0.
Y así sucesivamente:
0 • 3 + 4 = 4, por lo tanto a3 = 4.
4 • 3 + 4 = 16, por lo tanto a4 = 6.
6 • 3 + 4 = 22, por lo tanto a5 = 2.
2 • 3 + 4 = 10, por lo tanto a6 = 0.
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No debería ser así, porque aquí la secuencia 0, 4, 6, 2 es seguida por 0, 4, 6, 2, 0, 4, 6, 2 y así sucesivamente. No hay ningún rastro de azar en esta secuencia fija y ni siquiera los números entre el 0 y el 9 pueden encontrarse todos en la secuencia.
Obviamente, no es tan simple.
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¿Es suficiente cambiar la variable d?
Con a1 = 2, b = 60, c = 5 y d = 100 se calcula 2 • 60 + 5 = 125 , por lo tanto a2 = 25.
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Y así sigue: bastante terrible, porque es a2 = a3 = a4 = a5 = 5 y todos los demás igual. No, tampoco funciona así, obviamente hay que elegir las variables con un poco más de ingenio.
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Más hábil, sí. Pero básicamente no es más difícil. Simplemente hay que elegir los valores iniciales a1, b y c de tal manera que aparezcan tantos números como sea posible como restos para el número de dígitos deseado, y esto viene determinado por la variable d.
Con a1 = 2, b = 72, c = 5 y d = 100 ya se ve mejor.
Se calcula 2 • 72 + 5 = 149, por lo tanto a2 = 49.
Y así sucesivamente:
49 • 72 + 5 = 3533, por lo tanto a3 = 33.
33 • 72 + 5 = 2381, por lo tanto a4 = 81.
81 • 72 + 5 = 5837, por lo tanto a5 = 37.
37 • 72 + 5 = 2669, por lo tanto a6 = 69.
Pero claramente. Incluso al dividir por 100, sólo pueden aparecer los 100 restos entre 0 y 99. En algún momento, un resto se repite y luego toda la secuencia vuelve a empezar de forma idéntica desde el principio. Si gira la rueda de la fortuna, no es probable que esto ocurra. Y precisamente por eso distinguimos entre los números aleatorios y los números pseudoaleatorios generados aquí.
En la práctica, por cierto, d se elegirá grande. Para d = 1 millón, hay teóricamente 1 millón de restos y, por lo tanto, con una elección adecuada de las otras variables, ya hay una posibilidad más amplia de diferentes números pseudoaleatorios.
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Una vez más: Depende obviamente mucho de los valores iniciales que se utilicen.
Por lo tanto, en realidad, se trabaja con d grandes y enteros para los que se cumplen los criterios de calidad de la secuencia mencionados. Por ejemplo, se multiplica el número inicial a1 por 16807 y se divide el resultado por 2.147.483.647.
Leonhard Euler, el famoso matemático, probó en 1772 que es un número primo.
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El último paso es quizás el más fácil. ¿Qué hace uno si realmente desea tener exactamente los números naturales del 1 al 6?
Nada más fácil que eso.
Si uno tiene a mano buenos números aleatorios entre 0 y 1, entonces se evalúa todo entre 0 y como 1, entre y como 2, entre y como 3 y ... todo entre y como 6.
Pero, aun así, no se debería perder la oportunidad de jugar con un dado de verdad.
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Fue un placer tenerle con nosotros. Espero verle cuando volvamos a charlar de matemáticas en el próximo episodio.