Diapositiva 0
Hola a todos y todas, bienvenidos a un nuevo episodio de las charlas matemáticas. Para charlar seriamente de matemáticas, se necesita un vocabulario adecuado. Por ello, introduciremos algunos conceptos relacionados con la probabilidad.
Diapositiva 1
Hay un objetivo importante y es la definición matemática de lo que es la probabilidad. Está claro que no se puede estar satisfecho con un enfoque intuitivo en matemáticas. No alcanzaremos este objetivo hoy, pero nos prepararemos para ello.
Una vez más, elegimos experimentos aleatorios como punto de partida. Usted ya lo sabe: el resultado de un experimento de este tipo no es predecible, pero está claro que se producirá uno de los resultados predeterminados. Se resumen en el conjunto de resultados. Muy pronto nombraremos este conjunto con un término matemático.
Diapositiva 2
¿Cuándo se utiliza el término “resultado”? ¿Qué es un resultado? ¿El "6" que muestra el dado tras ser lanzado es un resultado? Coloquialmente, se diría así.
Veamos esto paso a paso con ejemplos. La idea básica aquí es que un experimento aleatorio tiene resultados deseados, es decir, definidos y fijos. En términos generales: deseado, definido, fijado por usted como persona que hace el experimento.
Diapositiva 3
Aquí hay dos ejemplos sencillos, uno es el lanzamiento de una moneda y el otro es un partido de fútbol.
Al lanzar dos monedas, existen en principio tres posibilidades, que se muestran aquí. A partir de ellos podríamos componer un conjunto de los resultados.
Del mismo modo, en un partido de fútbol hay tres resultados posibles, ya que cualquiera de los dos equipos puede ganar y el partido puede terminar en un empate.
Diapositiva 4
Si se lanza un dado, entonces uno puede interesarse por cada uno de los seis resultados posibles, y establece 𝜴 = {1, 2, 3, 4 ,5, 6} como conjunto de resultados.
Pero imagina que estás jugando al parchís. Entonces, al principio, lo único que importa es si sale un "6". El conjunto de resultados puede adaptarse fácilmente a esta situación. Es 𝜴 = {6, no 6}, porque todos los demás números son igualmente poco interesantes.
Tal vez le interesan los números pares e impares, entonces tome eso como el conjunto de resultados.
Una vez más, la idea básica es que un experimento aleatorio tiene resultados fijos, determinados por usted como persona que realiza el experimento.
Diapositiva 5
Hay aquí otro ejemplo. Supongamos que lanza dos dados. Entonces podría interesarle algo como lo que muestran los dos dados, sin prestar atención al orden. Así se llega al conjunto de resultados, que consiste en todos los pares de números del 1 al 6. O forma la suma de ojos y se pregunta si es par o impar. Entonces se establece 𝜴 como conjunto de resultados. Como puedes ver, este asunto se puede continuar a gusto.
Diapositiva 6
Muy brevemente, algunos ejemplos más. El primer y segundo ejemplo ilustran una vez más que realmente sólo importa lo que se especifica como conjunto de resultados. El segundo y el tercer ejemplo ilustran de forma bastante explícita que también se puede asignar un conjunto de resultados a experimentos para los que no existen hipótesis teóricas sobre la frecuencia.
Diapositiva 7
Esta es la definición. Para ello, introducimos un término matemático que suele utilizarse en este contexto.
El conjunto W = {w1, w2, ... , wn} de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral.
Diapositiva 8
Cabe destacar que el conjunto de resultados debe incluir todos los posibles resultados del experimento aleatorio. De lo contrario, la definición no tendría sentido en la práctica.
Diapositiva 9
En matemáticas, el lenguaje preciso es importante, ya lo he dicho. Así que seamos precisos con lo que acabamos de actuar. Sólo consideramos los experimentos aleatorios discretos. Son aquellas en las que el espacio muestral 𝜴 es discreto.
Un conjunto discreto tiene un número finito o infinito contable de elementos. Y si no está muy familiarizado con estos términos, entonces no pasa nada. Déjelo entonces en el intuitivo "bueno, es todo lo que puedes contar de alguna manera".
Diapositiva 10
Otro concepto importante es el de suceso. Entonces, ¿cuándo hablamos de sucesos?
Pues bien, un evento en un experimento aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por tanto, tenemos que definir el espacio muestral para utilizar el término “suceso”.
Se habla de un evento elemental si es un subconjunto con solo un elemento de W.
El conjunto potencia, potencia de Omega (o conjunto de partes de W), es decir, el conjunto de todos los subconjuntos posibles de W, se denomina espacio de sucesos del experimento aleatorio. Un suceso es un elemento de potencia de Omega.
Diapositiva 11
Veamos un ejemplo: Lanzamos un dado normal. Obviamente, se puede establecer W = {1, 2, 3, 4, 5, 6} como espacio muestral.
Entonces "si se lanza 3" es uno de los seis posibles sucesos elementales.
Es el suceso seguro de que salga uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Imposible es que no salga ninguno de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6. En consecuencia, se trata de un suceso imposible.
Y de nuevo, somos libres de especificar lo que nos interesa. "Se lanza 1, o 3 o 5" es el suceso "número impar" y "se lanza 2 o 3 o 5" es el suceso "número primo".
Diapositiva 12
En el lenguaje de conjuntos matemáticos se ve así:
T1 = {3} está claro, T2 = {1,2,3,4,5,6} tampoco es difícil. El suceso imposible está representado por el conjunto vacío T3 = { }, el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Finalmente el conjunto T4 = {1,3,5} y T5 = {2,3,5}.
Diapositiva 13
Y aquí están los términos esenciales resumidos una vez más.
El espacio muestral es el conjunto W de todos los resultados. Muy fácil de entender.
Un suceso es cualquier subconjunto A del espacio muestral W.
Todos los sucesos forman el conjunto de sucesos y éste es el conjunto potencia de Omega.
Un suceso elemental es cualquier subconjunto de un elemento de W.
El suceso seguro es A = W, el suceso imposible es A = { }.
Para cado suceso A hay un suceso complementario (o suceso contrario) W \ A , es decir el complemento de A.
Podemos enlazar los sucesos a través de "y", que le da la intersección de los dos. Y podemos enlazar sucesos mediante "o", que da la unión de los dos sucesos.
¿Demasiada teoría de conjuntos? No se preocupe, los ejemplos seguirán en breve.
Diapositiva 14
Volvamos a lanzar los dados, es un lindo y simple experimento aleatorio.
Supongamos que A1 es el suceso "número impar" y A2 es el suceso "número primo".
El suceso complementario de A1 es el suceso „número par“ o el conjunto de los números 2, 4, 6, el suceso complementario de A2 es el suceso "no número primo”, es decir, el conjunto de los números 1, 4 y 6.
Si unimos los dos sucesos con "y", entonces estamos buscando números que sean impares y primos, obviamente 3 y 5.
Si unimos los dos sucesos con "o" entonces estamos buscando números que sean impares o primos, obviamente estos son los números 1, 2, 3 y 5.
Lo que es seguro al lanzar un dado es que sale uno de los números del 1 al 6.
Imposible es lanzar un 7... o un 8 o ... lo que se pueda poner aquí – excepto 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Diapositiva 15
Concluyamos con un ejemplo. En el fútbol, cuando el Real Madrid se enfrenta al Bayern de Múnich, hay tres resultados posibles: El Real Madrid gana, los equipos empatan, el Bayern de Múnich gana.
Los sucesos pueden ser “un equipo gana”, es decir, el Real Madrid gana o el Bayern de Múnich gana.
Respectivamente “no hay un ganador claro”, lo que significa que los equipos juegan a un empate.
Evidentemente, cada uno de los dos sucesos es el suceso complementario del otro.
El enlace con "y" no funciona, porque los eventos son mutualmente excluyentes. Se obtiene el conjunto vacío. El caso imposible es que nadie gane y los equipos no empaten.
La relación con "o" es bastante sencilla. Lleva al espacio muestral W.
Diapositiva 16
Eso fue todo por hoy. Muchas gracias por acompañarme. Estoy deseando verle en el próximo episodio. ¡Hasta el proximo!