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Buenos días, buenas tardes a todas y todos. Bienvenidos a este nuevo episodio de las charlas matemáticas. En este episodio hablaremos de los procesos de crecimiento y las funciones matemáticas que los describen.
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El objetivo central de hoy será observar lo que significa el crecimiento exponencial. Recientemente, el término se ha hecho más familiar para el público en general debido a la pandemia de COVID-19.
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Veamos primero qué es realmente el crecimiento exponencial.
Imagine que usted ahorra con mucha regularidad. El primer día se pone un céntimo o un centavo, según sea la moneda de su país, en la alcancía, el segundo día dos céntimos, el tercer día cuatro céntimos, el cuarto día ocho céntimos y así sucesivamente. Cada día se pone en la alcancía el doble de la cantidad del día anterior.
¿Se podría convertir en millonario de esta manera?
¿Cuánto tiempo cree que tardará? Dé una sugerencia y anótela.
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Pero primero hablemos de la Sra. García y su perra Luna. Luna necesita mucho ejercicio. Como la Sra. García tiene muy poco tiempo, busca a alguien que pasee a Luna durante una hora todos los días. Mara lo hace de forma profesional y cobra 8 euros la hora por sus servicios.
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A la chica de al lado, Ana, también le gustaría hacer el trabajo. Quiere 10 céntimos por la primera hora, 20 céntimos por la segunda, 40 céntimos por la tercera y 80 céntimos por la cuarta. Y así seguiría, sólo quiere ganar el doble de la última hora en cada nueva hora.
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La Sra. García hace las cuentas: Sólo necesita los cuidados cinco días a la semana.
La primera semana cuesta 5 • 8 € = 40 € con Mara. "Eso es algo caro", piensa la Sra. García.
La primera semana con la vecina Ana cuesta
10 céntimos + 20 céntimos + 40 cuarenta céntimos + 80 ochenta céntimos + 160 céntimos = 3,10 euros. Eso es considerablemente más barato.
¿Ana está ofreciendo una ganga?
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Pero, la Sra. García piensa ahora en el futuro y hace más cuentas:
Las dos primeras semanas con Mara cuestan 10 • 8 € = 80 ochenta € .
Con la vecina Ana costaría 10 céntimos + 20 céntimos + 40 céntimos + 80 céntimos + 160 céntimos + 320 tres céntimos + 640 céntimos + 1280 céntimos + 2560 céntimos + 5120 céntimos
= 10230 céntimos = 102,30 €.
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Oh, no. La Sra. García está asombrada. Esto ya no parece un precio de ganga.
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La Sra. García habla con Miguel, este quiere simplemente ganar el doble de la cantidad de la última hora en cada nueva hora. Pero empieza con más cautela y toma 1 céntimo por la primera hora, 2 céntimos por la segunda, 4 céntimos por la tercera y, así, 8 céntimos por la cuarta.
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La Sra. García examina la oferta y calcula con cierta ilusión:
Las dos primeras semanas siguen costando 10 • 8 euros = 80 euros con Mara.
Con Miguel, en cambio, es
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 céntimos = 10,23 euros.
Y esta vez, la Sra. García está asumiendo una verdadera ganga.
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Sin embargo, la Sra. García no está aún convencida de la ganga, por lo tanto, sigue calculando:
Las tres primeras semanas cuestan 15 • 8 euros con Mara y eso es un total de 120 euros.
Con Miguel, por el mismo servicio debería pagar
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 9192 + 18384 es decir, 36767 céntimos = 367,67 euros.
Eso no puede ser, ¿verdad? Comienza con un solo céntimo y después de sólo tres semanas la señora García tiene que rebuscar mucho dinero en su cartera.
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¿Qué hay detrás? Con Mara, el importe de la factura es proporcional al servicio. Con cada hora que camina con Luna, sus ganancias aumentan en la misma cantidad fija.
Matemáticamente, se ve así: Es f (n) = 8 por n para cada número de horas n.
8 por n = 8 + 8 + 8 + etc.
Así que sumamos 8 y 8 y 8 en total n veces sucesivamente. Cada nueva suma difiere de la anterior por este sumando fijo 8.
Esto se llama crecimiento lineal. Las funciones de este tipo se aprenden en la escuela: 2 kg de manzanas cuestan el doble que 1 kg, 3 barras de chocolate cuestan el triple que una barra.
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Con Ana y Miguel, el importe facturado no es proporcional al servicio. Con cada hora de caminar con Luna, aumenta el doble de la cantidad cobrada por última vez durante una hora. Esto se llama crecimiento exponencial.
Eso es lo que gana Miguel después de 10 horas:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023.
También se puede escribir esto con la ayuda de potencias:
20 + 21 + … + 29 = 210 – 1 .
En este caso, se multiplica el mismo número en cada nuevo paso. Si este número es mayor que 1, el resultado crece mucho más rápido que con una simple adición de un número positivo.
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En general, Miguel cobra por cualquier número n de horas
20 + 21 + 22 + … + 2n-1 = 2n – 1 .
La suma es pequeña para números pequeños n, pero crece muy rápidamente para números mayores.
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¿Hay que limitarse a duplicar? No, claro que no.
Si se exige el triple de la cantidad cada vez, las buenas ganancias llegarán más rápidamente. Después de 10 horas se vería así:
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 19.683 = 29.524 .
Una vez más se puede escribir esto con la ayuda de potencias:
30 + 31 + 32 + … + 39
Pero, se escriba como se escriba, eso supone la notable cifra de 29.524 céntimos o 295,24 euros por 10 horas de trabajo.
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¿Se acuerda de la alcancía? ¿Ha dado alguna sugerencia? Entonces veamos qué dice la aritmética.
Evidentemente, se trata de saber cuánto es la suma de
20 + 21 + 22 + 23 + 23 + … etc.
Esta suma debe ser superior a 100 millones, ya que se calcula en céntimos o centavos. Hay tablas para ello y se encuentra que es un poco más de 134.000.000. Así que ya funciona en el día 28 con el millón.
El único problema: incluso una alcancía gordísima es probable que haya reventado mucho antes.
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Oh.
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Eso fue todo por hoy. Fue un placer tenerle con nosotros. Muchas gracias por su interés. Muy importante: manténgase alerta con respecto al crecimiento demasiado rápido.
Pero espera un momento. Si no quiere que este episodio termine con la triste imagen de la alcancía, le invito a un final especial. Una cálida bienvenida a todos los que estén interesados en un poco más de matemáticas.
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¿Se acuerda? En este episodio utilizamos que la suma de las potencias de dos de cero a seis es igual a dos a la potencia de diez menos uno. Esto se puede demostrar con la ayuda de lainducción matemática en general.
Queremos demostrar en general que la suma de las primeras n potencias de 2 -empezando por 0 y terminando por n-1 - es igual a dos a la potencia de n - 1. Esta es la afirmación.
La suma de todos los 2 a la potencia i , sumatorio sobre i, desde i = 0 hasta i = n-1 es igual a 2n – 1.
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Al principio de la inducción fijamos n = 1 y comprobamos si la afirmación es verdadera. Ahora tenemos que sumar de i = 0 a i = 1-1 = 0. 20 = 1 = 2 -1 = 21 - 1 . Esto es obviamente cierto, la formula se cumple para n = 1.
Probemos también con n = 2. Es dos a la potencia de 0 + = 1 + 2 = 3 = 4 -1 = . Esto también funciona aquí. El paso no es necesario, es suficiente empezar con uno solo número.
Para evitar tener que demostrar la afirmación para todos los números naturales, es útil un procedimiento general llamado inducción completa.
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Ahora suponemos que la afirmación es válida para un número natural m. Se llama hipótesis de inducción.
Se acepta que + + + etc. + = sumatoria dos a la potencia de i sobre i de 0 a m es igual a dos a la potencia de m menos uno.
Podemos hacerlo porque hemos demostrado que se aplica para m = 1. Si podemos concluir de la validez de la afirmación para cualquier (pero fijo) m a la validez para m+1, entonces hemos demostrado todo. De la validez ya mostrada para m = 1 se deduce la validez para m = 1+1 = 2 , de ésta la validez para m = 2+1 = 3 y así sucesivamente.
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Con esta hipótesis queremos probar la tesis de inducción: La afirmación es válida para el siguiente número natural m + 1 .
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El paso necesario se llama demostración de la tesis de la inducción.
Pero ahora la suma de todos los dos a la potencia de i, sumatoria sobre i, para i desde 0 hasta m es simplemente dos a la potencia de m menos uno más dos a la potencia de m debido a la hipótesis de inducción y esto es entonces 2 • 2m - 1 , que a su vez es igual a .
Eso es exactamente lo que teníamos que demostrar.
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Y con esto, finalmente terminamos por hoy. ¡Hasta la próxima!